La matematica è piena di concetti fondamentali e la definizione di funzione ne occupa uno dei primi posti.
Una funzione è un legame che relaziona ad un elemento di un insieme (noto come il dominio) un unico elemento di un altro insieme (noto come l’immagine).
In altre parole, se prendiamo un insieme A e un insieme B, una funzione f da A a B associa ogni entità di A con una sola entità di B.
Definizione
Un modo semplice per definire una funzione è quello di pensare a due squadre sportive: la squadra A e la squadra B. Se ci sono n giocatori in squadra A e m giocatori in squadra B, allora possiamo dire che ci sono n x m possibili giochi tra le due squadre. Ogni gioco può essere rappresentato come una funzione che associa ogni giocatore della squadra A con un giocatore della squadra B. Si noti che non è necessario che i due giocatori siano uguali; possono anche essere diversi. Tuttavia, ogni giocatore della squadra A dovrà essere associato a un giocatore della squadra B.
Esempi
Ci sono molti esempi di funzioni nella vita quotidiana. Un semplice esempio è quello delle coordinate cartesiane: prendendo un piano e un asse orizzontale e verticale, possiamo rappresentare tutti i punti sul piano come coppie di numeri che rappresentano rispettivamente la distanza del punto dall’origine sull’asse orizzontale e verticale. La funzione che associa ogni punto al suo corrispondente punto è chiamata funzione di coordinate cartesiane. Un altro esempio di funzione si trova nel campo della finanza: la funzione che associa il prezzo di un titolo alla quantità di denaro investita viene chiamata funzione di rendimento.
Domini e immagini
Ogni funzione ha un dominio e un insieme di immagini. Il dominio di una funzione è l’insieme di tutti gli elementi che possono essere inseriti nella funzione, mentre l’immagine è l’insieme degli elementi che possono essere restituiti dalla funzione. Ad esempio, nel caso delle coordinate cartesiane, il dominio è l’insieme di tutti i punti sul piano, mentre l’immagine è l’insieme di tutti i numeri reali.
Funzioni continue e discontinue
A seconda della struttura della funzione, esistono due tipi principali di funzioni: continue e discontinue. Una funzione è detta continua se, per ogni elemento del dominio, c’è un solo valore nell’immagine. In altre parole, non ci possono essere “buchi” nel grafico della funzione. Al contrario, una funzione è detta discontinua se esistono elementi su cui la funzione non è definita (cioè, se ci sono dei “buchi” nel grafico della funzione). Ad esempio, la funzione delle coordinate cartesiane è continua, mentre la funzione y = |x| è discontinua, poiché non esiste alcun valore di x per y = 0.
Funzioni a più variabili
Fino ad ora abbiamo discusso solo delle funzioni a una variabile. Ma esistono anche funzioni a più variabili, che richiedono più input e producono più output. Ad esempio, una funzione f(x, y) può essere pensata come una tabella in cui ogni riga representa un valore diverso di x, mentre ogni colonna rappresenta un valore diverso di y. La funzione stessa è quindi una serie di numeri, ognuno dei quali rappresenta l’output della funzione dati gli input x e y. Come per le funzioni a una sola variabile, anche le funzioni a più variabili possono essere continuous o discontinues.
Note finali
In conclusione, una funzione è una relazione che associa ad ogni elemento di un insieme (noto come il dominio) un unico elemento di un altro insieme (noto come l’immagine). Ci sono due tipi di funzioni: continuo e discontinuo. Esistono anche funzioni a più variabili, che richiedono più input e producono più output. Le funzioni sono ampiamente utilizzate in matematica e in molte altre aree come la finanza, la fisica e l’ingegneria.
